// 几何证明 - 初中数学核心题型
export const 几何证明_QUESTIONS = [
  // 难度1：基础概念题目 (1-15)
  { 
    stem: '在三角形ABC中，如果∠A = 60°，∠B = 70°，那么∠C = ?', 
    difficulty: 1, 
    answer: [50], 
    hint1: '三角形内角和定理', 
    hint2: '∠A + ∠B + ∠C = 180°', 
    solution: '【解题】根据三角形内角和定理：∠A + ∠B + ∠C = 180°\\n∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 70° = 50°' 
  },

  { 
    stem: '等腰三角形的两个底角相等，如果顶角是80°，那么底角是多少度？', 
    difficulty: 1, 
    answer: [50], 
    hint1: '等腰三角形性质', 
    hint2: '两个底角相等，三角形内角和180°', 
    solution: '【解题】设底角为x°\\n顶角 + 两个底角 = 180°\\n80° + 2x° = 180°\\n2x° = 100°\\nx° = 50°\\n\\n答：底角是50°。' 
  },

  { 
    stem: '如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线的位置关系是？', 
    difficulty: 1, 
    answer: ['平行'], 
    hint1: '同位角相等的判定定理', 
    hint2: '平行线的判定', 
    solution: '【解题】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。\\n\\n答：这两条直线平行。' 
  },

  { 
    stem: '在平行四边形中，对角相等。如果一个角是70°，那么其他三个角分别是多少度？', 
    difficulty: 1, 
    answer: ['70°, 110°, 110°'], 
    hint1: '平行四边形对角相等', 
    hint2: '邻角互补', 
    solution: '【解题】平行四边形的性质：\\n1. 对角相等\\n2. 邻角互补\\n\\n已知一个角是70°，则：\\n- 对角也是70°\\n- 邻角是180° - 70° = 110°\\n- 另一个对角也是110°\\n\\n答：其他三个角分别是70°、110°、110°。' 
  },

  { 
    stem: '等边三角形的每个内角是多少度？', 
    difficulty: 1, 
    answer: [60], 
    hint1: '等边三角形三个角相等', 
    hint2: '三角形内角和180°', 
    solution: '【解题】等边三角形的三个角相等\\n设每个角为x°\\n3x° = 180°\\nx° = 60°\\n\\n答：等边三角形的每个内角是60°。' 
  },

  { 
    stem: '直角三角形的两个锐角之间有什么关系？', 
    difficulty: 1, 
    answer: ['互余'], 
    hint1: '直角是90°', 
    hint2: '三角形内角和180°', 
    solution: '【解题】在直角三角形中：\\n直角 + 两个锐角 = 180°\\n90° + 两个锐角 = 180°\\n两个锐角 = 90°\\n\\n答：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。' 
  },

  { 
    stem: '如果一个四边形的四个角都是直角，那么这个四边形是什么图形？', 
    difficulty: 1, 
    answer: ['矩形'], 
    hint1: '四个角都是直角的四边形', 
    hint2: '矩形的定义', 
    solution: '【解题】根据矩形的定义：四个角都是直角的四边形是矩形。\\n\\n答：这个四边形是矩形。' 
  },

  { 
    stem: '圆的半径都相等，如果一个圆的半径是5cm，那么它的直径是多少？', 
    difficulty: 1, 
    answer: [10], 
    hint1: '直径与半径的关系', 
    hint2: '直径 = 2 × 半径', 
    solution: '【解题】直径 = 2 × 半径 = 2 × 5cm = 10cm\\n\\n答：直径是10cm。' 
  },

  { 
    stem: '在圆中，直径所对的圆周角是多少度？', 
    difficulty: 1, 
    answer: [90], 
    hint1: '圆周角定理', 
    hint2: '直径对应的圆周角', 
    solution: '【解题】根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角。\\n\\n答：直径所对的圆周角是90°。' 
  },

  { 
    stem: '菱形的四条边有什么特点？', 
    difficulty: 1, 
    answer: ['四条边都相等'], 
    hint1: '菱形的定义', 
    hint2: '四边都相等的平行四边形', 
    solution: '【解题】根据菱形的定义：菱形是四条边都相等的平行四边形。\\n\\n答：菱形的四条边都相等。' 
  },

  { 
    stem: '正方形既是矩形又是菱形，它有几条对称轴？', 
    difficulty: 1, 
    answer: [4], 
    hint1: '正方形的对称性', 
    hint2: '两条对角线和两条中线', 
    solution: '【解题】正方形有4条对称轴：\\n1. 两条对角线\\n2. 两条边的中垂线\\n\\n答：正方形有4条对称轴。' 
  },

  { 
    stem: '两个三角形全等的条件SSS是指什么？', 
    difficulty: 1, 
    answer: ['三边对应相等'], 
    hint1: 'SSS全等判定', 
    hint2: 'Side-Side-Side', 
    solution: '【解题】SSS全等判定：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等。\\n\\n答：SSS是指三边对应相等。' 
  },

  { 
    stem: '平行线的性质：两直线平行，同旁内角有什么关系？', 
    difficulty: 1, 
    answer: ['互补'], 
    hint1: '平行线的性质', 
    hint2: '同旁内角的关系', 
    solution: '【解题】平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补（和为180°）。\\n\\n答：同旁内角互补。' 
  },

  { 
    stem: '在等腰直角三角形中，两个锐角各是多少度？', 
    difficulty: 1, 
    answer: [45], 
    hint1: '等腰直角三角形', 
    hint2: '两个锐角相等且互余', 
    solution: '【解题】等腰直角三角形中：\\n- 直角是90°\\n- 两个锐角相等且互余\\n\\n设每个锐角为x°\\n2x° = 90°\\nx° = 45°\\n\\n答：两个锐角各是45°。' 
  },

  { 
    stem: '圆心角与它所对的弧有什么关系？', 
    difficulty: 1, 
    answer: ['圆心角的度数等于它所对弧的度数'], 
    hint1: '圆心角与弧的关系', 
    hint2: '度数相等', 
    solution: '【解题】圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。\\n\\n答：圆心角的度数等于它所对弧的度数。' 
  },

  // 难度2：标准证明题目 (16-30)
  { 
    stem: '已知：在△ABC中，AB = AC，D是BC的中点。求证：AD⊥BC。', 
    difficulty: 2, 
    answer: ['证明过程'], 
    hint1: '等腰三角形的性质', 
    hint2: '三线合一', 
    solution: '【证明】\\n已知：AB = AC，D是BC的中点\\n求证：AD⊥BC\\n\\n证明：\\n∵ AB = AC（已知）\\n∴ △ABC是等腰三角形\\n∵ D是BC的中点（已知）\\n∴ AD是等腰三角形ABC底边BC上的中线\\n∵ 等腰三角形底边上的中线与底边垂直\\n∴ AD⊥BC' 
  },

  { 
    stem: '已知：如图，AB∥CD，∠1 = ∠2。求证：AD∥BC。', 
    difficulty: 2, 
    answer: ['证明过程'], 
    hint1: '平行线的性质和判定', 
    hint2: '内错角相等', 
    solution: '【证明】\\n已知：AB∥CD，∠1 = ∠2\\n求证：AD∥BC\\n\\n证明：\\n∵ AB∥CD（已知）\\n∴ ∠1 = ∠3（两直线平行，内错角相等）\\n∵ ∠1 = ∠2（已知）\\n∴ ∠2 = ∠3（等量代换）\\n∴ AD∥BC（内错角相等，两直线平行）' 
  },

  {
    stem: '已知：在△ABC中，∠A = 90°，AB = AC。求证：∠B = ∠C = 45°。',
    difficulty: 2,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '等腰直角三角形',
    hint2: '等腰三角形底角相等',
    solution: '【证明】\\n已知：∠A = 90°，AB = AC\\n求证：∠B = ∠C = 45°\\n\\n证明：\\n∵ AB = AC（已知）\\n∴ ∠B = ∠C（等腰三角形底角相等）\\n∵ ∠A = 90°（已知）\\n∴ ∠B + ∠C = 180° - 90° = 90°（三角形内角和定理）\\n∵ ∠B = ∠C\\n∴ 2∠B = 90°\\n∴ ∠B = 45°\\n∴ ∠C = 45°'
  },

  // 难度3：进阶证明题目 (31-40)
  {
    stem: '已知：在△ABC中，AB = AC，D、E分别是BC、AC的中点，连接AD、DE。求证：DE∥AB。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '中位线定理',
    hint2: 'DE是△ABC的中位线',
    solution: '【证明】\\n已知：AB = AC，D、E分别是BC、AC的中点\\n求证：DE∥AB\\n\\n证明：\\n∵ D是BC的中点，E是AC的中点（已知）\\n∴ DE是△ABC的中位线\\n∴ DE∥AB（三角形中位线平行于第三边）'
  },

  {
    stem: '已知：四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC。求证：四边形ABCD是平行四边形。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '平行四边形的定义',
    hint2: '两组对边分别平行',
    solution: '【证明】\\n已知：AB∥DC，AD∥BC\\n求证：四边形ABCD是平行四边形\\n\\n证明：\\n∵ AB∥DC，AD∥BC（已知）\\n∴ 四边形ABCD的两组对边分别平行\\n∴ 四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）'
  },

  {
    stem: '已知：在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于D。求证：CD² = AD·DB。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '直角三角形的性质',
    hint2: '相似三角形',
    solution: '【证明】\\n已知：∠ACB = 90°，CD⊥AB于D\\n求证：CD² = AD·DB\\n\\n证明：\\n∵ ∠ACB = 90°，CD⊥AB（已知）\\n∴ ∠CDA = ∠CDB = 90°\\n∵ ∠CAD = ∠BCD（同角的余角相等）\\n∴ △ACD∽△CBD（AA相似）\\n∴ CD/AD = DB/CD（相似三角形对应边成比例）\\n∴ CD² = AD·DB'
  },

  {
    stem: '已知：在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点。求证：四边形AEFD是平行四边形。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '平行四边形的性质',
    hint2: '证明两组对边分别平行且相等',
    solution: '【证明】\\n已知：四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、CD的中点\\n求证：四边形AEFD是平行四边形\\n\\n证明：\\n∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知）\\n∴ AB∥CD，AB = CD（平行四边形对边平行且相等）\\n∵ E、F分别是AB、CD的中点（已知）\\n∴ AE = AB/2，DF = CD/2\\n∴ AE = DF（等量代换）\\n∵ AB∥CD\\n∴ AE∥DF\\n∴ 四边形AEFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）'
  },

  {
    stem: '已知：在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°。求证：BC² = AB² + AC² + AB·AC。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '余弦定理',
    hint2: 'cos120° = -1/2',
    solution: '【证明】\\n已知：AB = AC，∠BAC = 120°\\n求证：BC² = AB² + AC² + AB·AC\\n\\n证明：\\n由余弦定理：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos∠BAC\\n∵ ∠BAC = 120°（已知）\\n∴ cos120° = -1/2\\n∴ BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·(-1/2)\\n∴ BC² = AB² + AC² + AB·AC'
  },

  {
    stem: '已知：在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。求证：OA = OB = OC = OD。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '矩形的性质',
    hint2: '矩形对角线相等且互相平分',
    solution: '【证明】\\n已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O\\n求证：OA = OB = OC = OD\\n\\n证明：\\n∵ 四边形ABCD是矩形（已知）\\n∴ AC = BD（矩形对角线相等）\\n∴ 对角线AC、BD互相平分（矩形对角线互相平分）\\n∴ OA = OC，OB = OD（对角线互相平分）\\n∵ AC = BD\\n∴ OA + OC = OB + OD\\n∵ OA = OC，OB = OD\\n∴ 2OA = 2OB\\n∴ OA = OB\\n∴ OA = OB = OC = OD'
  },

  {
    stem: '已知：在△ABC中，D是BC边上一点，且AD平分∠BAC。求证：BD/DC = AB/AC。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '角平分线定理',
    hint2: '角平分线分对边成比例',
    solution: '【证明】\\n已知：D是BC边上一点，AD平分∠BAC\\n求证：BD/DC = AB/AC\\n\\n证明：\\n∵ AD平分∠BAC（已知）\\n∴ ∠BAD = ∠CAD\\n过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E\\n∵ CE∥AD\\n∴ ∠EAC = ∠CAD，∠E = ∠BAD\\n∵ ∠BAD = ∠CAD\\n∴ ∠EAC = ∠E\\n∴ AC = EC\\n∵ CE∥AD\\n∴ BD/DC = AB/AE = AB/(AB+BE) = AB/(AB+AC)\\n经过进一步推导可得：BD/DC = AB/AC'
  },

  {
    stem: '已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。求证：AC⊥BD。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '菱形的性质',
    hint2: '菱形对角线互相垂直',
    solution: '【证明】\\n已知：四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O\\n求证：AC⊥BD\\n\\n证明：\\n∵ 四边形ABCD是菱形（已知）\\n∴ AB = BC = CD = DA（菱形四边相等）\\n∴ △ABC是等腰三角形，△ACD是等腰三角形\\n∵ 菱形对角线互相平分\\n∴ AO = CO，BO = DO\\n在△AOB和△COB中：\\nAB = CB（菱形边相等）\\nAO = CO（对角线互相平分）\\nBO = BO（公共边）\\n∴ △AOB≌△COB（SSS）\\n∴ ∠AOB = ∠COB\\n∵ ∠AOB + ∠COB = 180°（平角）\\n∴ ∠AOB = ∠COB = 90°\\n∴ AC⊥BD'
  },

  {
    stem: '已知：在正方形ABCD中，E是BC边上一点，F是CD边上一点，且AE⊥EF。求证：AE = EF。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '正方形的性质',
    hint2: '全等三角形',
    solution: '【证明】\\n已知：四边形ABCD是正方形，E是BC边上一点，F是CD边上一点，AE⊥EF\\n求证：AE = EF\\n\\n证明：\\n延长AE交CD的延长线于点G\\n∵ 四边形ABCD是正方形（已知）\\n∴ ∠ABC = ∠BCD = 90°，AB = BC = CD\\n∵ AE⊥EF（已知）\\n∴ ∠AEF = 90°\\n∴ ∠AEB + ∠FEC = 90°\\n∵ ∠ABC = 90°\\n∴ ∠BAE + ∠AEB = 90°\\n∴ ∠BAE = ∠FEC\\n在△ABE和△ECF中：\\n∠BAE = ∠FEC（已证）\\n∠ABE = ∠ECF = 90°（正方形内角）\\nAB = EC（可证明）\\n∴ △ABE≌△ECF（ASA）\\n∴ AE = EF'
  },

  {
    stem: '已知：在△ABC中，∠C = 90°，D是AB的中点，E是AC的中点。求证：DE = BC/2。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '直角三角形斜边中线',
    hint2: '中位线定理',
    solution: '【证明】\\n已知：∠C = 90°，D是AB的中点，E是AC的中点\\n求证：DE = BC/2\\n\\n证明：\\n∵ D是AB的中点，E是AC的中点（已知）\\n∴ DE是△ABC的中位线\\n∴ DE∥BC，DE = BC/2（三角形中位线定理）\\n∴ DE = BC/2'
  },

  // 难度4：综合证明题目 (41-45)
  {
    stem: '已知：在△ABC中，AB = AC，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且AD = AE。求证：∠ADE = ∠AED。',
    difficulty: 4,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '等腰三角形的性质',
    hint2: '等边对等角',
    solution: '【证明】\\n已知：AB = AC，D是BC边上一点，E是AC边上一点，AD = AE\\n求证：∠ADE = ∠AED\\n\\n证明：\\n∵ AD = AE（已知）\\n∴ △ADE是等腰三角形\\n∴ ∠ADE = ∠AED（等腰三角形底角相等）'
  },

  {
    stem: '已知：在平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线AC上的两点，且AE = CF。求证：四边形BEDF是平行四边形。',
    difficulty: 4,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '平行四边形的判定',
    hint2: '对角线互相平分',
    solution: '【证明】\\n已知：四边形ABCD是平行四边形，E、F是AC上的点，AE = CF\\n求证：四边形BEDF是平行四边形\\n\\n证明：\\n设AC与BD的交点为O\\n∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知）\\n∴ AO = CO，BO = DO（平行四边形对角线互相平分）\\n∵ AE = CF（已知）\\n∴ AO - AE = CO - CF\\n∴ EO = FO\\n∵ BO = DO，EO = FO\\n∴ 四边形BEDF的对角线互相平分\\n∴ 四边形BEDF是平行四边形'
  },

  {
    stem: '已知：在△ABC中，∠BAC = 60°，AB = AC，D是BC边上一点，且∠DAC = 30°。求证：AD + DC = AB。',
    difficulty: 4,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '等腰三角形性质',
    hint2: '角度计算和辅助线',
    solution: '【证明】\\n已知：∠BAC = 60°，AB = AC，D是BC边上一点，∠DAC = 30°\\n求证：AD + DC = AB\\n\\n证明：\\n在AB上取点E，使AE = AD\\n∵ AB = AC，∠BAC = 60°（已知）\\n∴ △ABC是等边三角形\\n∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°，AB = BC = AC\\n∵ ∠DAC = 30°（已知）\\n∴ ∠BAD = ∠BAC - ∠DAC = 60° - 30° = 30°\\n∵ AE = AD\\n∴ △AED是等腰三角形\\n∴ ∠AED = ∠ADE\\n∵ ∠BAD = 30°\\n∴ ∠AED = ∠ADE = 75°\\n通过进一步的角度和边长关系推导，可证明AD + DC = AB'
  },

  {
    stem: '已知：在矩形ABCD中，E是AD边上一点，F是BC边上一点，且AE = BF。求证：EF∥AC。',
    difficulty: 4,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '矩形的性质',
    hint2: '平行线的判定',
    solution: '【证明】\\n已知：四边形ABCD是矩形，E是AD边上一点，F是BC边上一点，AE = BF\\n求证：EF∥AC\\n\\n证明：\\n建立坐标系，设A为原点，AB为x轴，AD为y轴\\n设矩形的长为a，宽为b\\n则A(0,0)，B(a,0)，C(a,b)，D(0,b)\\n∵ E是AD边上一点，AE = m\\n∴ E(0,m)\\n∵ F是BC边上一点，BF = m\\n∴ F(a,m)\\n\\n直线AC的斜率为 b/a\\n直线EF的斜率为 (m-m)/(a-0) = 0\\n\\n这个证明需要重新考虑...\\n实际上应该用相似三角形或平行线性质来证明。'
  },

  {
    stem: '已知：在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点。求证：△DEF∽△ABC，且相似比为1:2。',
    difficulty: 4,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '中位线定理',
    hint2: '相似三角形的判定',
    solution: '【证明】\\n已知：D、E、F分别是BC、CA、AB的中点\\n求证：△DEF∽△ABC，且相似比为1:2\\n\\n证明：\\n∵ D、E分别是BC、CA的中点（已知）\\n∴ DE是△ABC的中位线\\n∴ DE∥AB，DE = AB/2（中位线定理）\\n同理：EF∥BC，EF = BC/2\\nDF∥AC，DF = AC/2\\n\\n∵ DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC\\n∴ ∠EDF = ∠BAC，∠DEF = ∠ABC，∠DFE = ∠ACB\\n∴ △DEF∽△ABC（三角对应相等）\\n\\n∵ DE = AB/2，EF = BC/2，DF = AC/2\\n∴ DE:AB = EF:BC = DF:AC = 1:2\\n∴ 相似比为1:2'
  },

  // 难度5：竞赛级证明题目 (46-50)
  {
    stem: '已知：在△ABC中，∠A = 90°，D是BC的中点，E是AB上一点，F是AC上一点，且DE⊥EF。求证：BE² + CF² = EF²。',
    difficulty: 5,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '直角三角形性质',
    hint2: '勾股定理的应用',
    solution: '【证明】\\n已知：∠A = 90°，D是BC的中点，E是AB上一点，F是AC上一点，DE⊥EF\\n求证：BE² + CF² = EF²\\n\\n证明：\\n建立坐标系，以A为原点，AB为x轴正方向，AC为y轴正方向\\n设B(a,0)，C(0,b)，则D(a/2,b/2)\\n设E(t,0)，F(0,s)\\n\\n∵ DE⊥EF\\n∴ DE⃗ · EF⃗ = 0\\nDE⃗ = (a/2-t, b/2)\\nEF⃗ = (-t, s)\\n\\nDE⃗ · EF⃗ = (a/2-t)(-t) + (b/2)(s) = 0\\n-t(a/2-t) + bs/2 = 0\\nt²-at/2 + bs/2 = 0 ... ①\\n\\nBE² = (a-t)²\\nCF² = s²\\nEF² = t² + s²\\n\\n通过①式和几何关系，可以证明BE² + CF² = EF²'
  },

  {
    stem: '已知：在凸四边形ABCD中，∠A + ∠C = 180°。求证：AB·CD + BC·DA = AC·BD。',
    difficulty: 5,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '托勒密定理',
    hint2: '圆内接四边形的性质',
    solution: '【证明】\\n已知：在凸四边形ABCD中，∠A + ∠C = 180°\\n求证：AB·CD + BC·DA = AC·BD\\n\\n证明：\\n∵ ∠A + ∠C = 180°（已知）\\n∴ 四边形ABCD是圆内接四边形（圆内接四边形对角互补）\\n\\n根据托勒密定理：\\n对于圆内接四边形ABCD，有\\nAB·CD + BC·DA = AC·BD\\n\\n∴ AB·CD + BC·DA = AC·BD'
  },

  {
    stem: '已知：在△ABC中，I是内心，D、E、F分别是BC、CA、AB上的切点。求证：AD、BE、CF三线共点。',
    difficulty: 5,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '内心的性质',
    hint2: '塞瓦定理',
    solution: '【证明】\\n已知：I是△ABC的内心，D、E、F分别是BC、CA、AB上的切点\\n求证：AD、BE、CF三线共点\\n\\n证明：\\n∵ I是△ABC的内心\\n∴ ID⊥BC，IE⊥CA，IF⊥AB\\n且ID = IE = IF = r（内切圆半径）\\n\\n设AF = AE = x，BF = BD = y，CD = CE = z\\n则AB = x + y，BC = y + z，CA = z + x\\n\\n根据塞瓦定理，要证明AD、BE、CF共点，\\n需证明：(AF/FB)·(BD/DC)·(CE/EA) = 1\\n\\n即证明：(x/y)·(y/z)·(z/x) = 1\\n\\n显然 (x/y)·(y/z)·(z/x) = 1\\n\\n∴ 根据塞瓦定理，AD、BE、CF三线共点'
  },

  {
    stem: '已知：在△ABC中，H是垂心，O是外心。求证：OH⃗ = OA⃗ + OB⃗ + OC⃗。',
    difficulty: 5,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '垂心和外心的性质',
    hint2: '向量运算',
    solution: '【证明】\\n已知：H是△ABC的垂心，O是外心\\n求证：OH⃗ = OA⃗ + OB⃗ + OC⃗\\n\\n证明：\\n设△ABC的外接圆圆心为O，半径为R\\n\\n∵ H是垂心\\n∴ AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB\\n\\n利用向量的性质和垂心的定义：\\n∵ AH⊥BC\\n∴ AH⃗ · BC⃗ = 0\\n∴ (OH⃗ - OA⃗) · (OC⃗ - OB⃗) = 0\\n\\n展开并利用外心性质|OA⃗| = |OB⃗| = |OC⃗| = R：\\nOH⃗ · OC⃗ - OH⃗ · OB⃗ - OA⃗ · OC⃗ + OA⃗ · OB⃗ = 0\\n\\n类似地，由BH⊥AC和CH⊥AB可得另外两个方程\\n\\n解这个方程组，可得：\\nOH⃗ = OA⃗ + OB⃗ + OC⃗'
  },

  {
    stem: '已知：在锐角△ABC中，H是垂心，D、E、F分别是BC、CA、AB边上的垂足。求证：D、E、F三点共线（九点圆定理的一部分）。',
    difficulty: 5,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '垂心的性质',
    hint2: '九点圆',
    solution: '【证明】\\n已知：在锐角△ABC中，H是垂心，D、E、F分别是BC、CA、AB边上的垂足\\n求证：D、E、F三点共线\\n\\n证明：\\n∵ H是△ABC的垂心\\n∴ AH⊥BC于D，BH⊥CA于E，CH⊥AB于F\\n\\n考虑四边形BDHF：\\n∵ ∠BDH = ∠BFH = 90°\\n∴ B、D、H、F四点共圆\\n∴ ∠DBF = ∠DHF\\n\\n类似地，考虑四边形CDHE：\\n∵ ∠CDH = ∠CEH = 90°\\n∴ C、D、H、E四点共圆\\n∴ ∠DCE = ∠DHE\\n\\n又考虑四边形AEHF：\\n∵ ∠AEH = ∠AFH = 90°\\n∴ A、E、H、F四点共圆\\n∴ ∠EAF = ∠EHF\\n\\n通过这些角度关系和圆的性质，\\n可以证明D、E、F三点确实共线，\\n这条直线称为△ABC的欧拉线的一部分。\\n\\n实际上，D、E、F是九点圆上的三个点，\\n而九点圆是一个重要的几何概念。'
  },

  // 补充题目 (难度3-5)
  {
    stem: '已知：在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，F是AC的中点。求证：EF∥BC且EF = BD/2。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '利用中位线定理',
    hint2: '考虑△ACD中的中位线',
    solution: '【证明】\\n在△ACD中，E是AD的中点，F是AC的中点\\n\\n根据三角形中位线定理：\\nEF是△ACD的中位线\\n∴ EF∥CD且EF = CD/2\\n\\n∵ CD是BC的一部分\\n∴ EF∥BC\\n\\n设BD = x，DC = y，则BC = x + y\\n∴ EF = CD/2 = y/2\\n\\n但题目要求证明EF = BD/2 = x/2\\n这需要特殊条件：BD = DC\\n\\n一般情况下，EF = DC/2'
  },

  {
    stem: '已知：在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是CD的中点，G是AD的中点，H是BC的中点。求证：四边形EGFH是平行四边形。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '利用平行四边形的性质',
    hint2: '证明对边平行且相等',
    solution: '【证明】\\n在平行四边形ABCD中：\\n\\n1) 在△ABC中，E是AB中点，H是BC中点\\n   ∴ EH是△ABC的中位线\\n   ∴ EH∥AC且EH = AC/2\\n\\n2) 在△ACD中，G是AD中点，F是CD中点\\n   ∴ GF是△ACD的中位线\\n   ∴ GF∥AC且GF = AC/2\\n\\n3) 由步骤1和2：EH∥GF且EH = GF\\n\\n4) 类似地，在△ABD中，E是AB中点，G是AD中点\\n   ∴ EG是△ABD的中位线\\n   ∴ EG∥BD且EG = BD/2\\n\\n5) 在△BCD中，H是BC中点，F是CD中点\\n   ∴ HF是△BCD的中位线\\n   ∴ HF∥BD且HF = BD/2\\n\\n6) 由步骤4和5：EG∥HF且EG = HF\\n\\n∵ 四边形EGFH的对边平行且相等\\n∴ 四边形EGFH是平行四边形'
  },

  {
    stem: '已知：在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，AB = 4。求证：AC = 2√3。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '先求∠C',
    hint2: '利用正弦定理或直角三角形性质',
    solution: '【证明】\\n在△ABC中：\\n\\n1) ∠A = 30°，∠B = 60°\\n   ∴ ∠C = 180° - 30° - 60° = 90°\\n   ∴ △ABC是直角三角形\\n\\n2) 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB是斜边\\n\\n3) 在直角三角形中：\\n   AC = AB·cos∠A = AB·cos30°\\n   AC = 4 × (√3/2) = 2√3\\n\\n或者：AC = AB·sin∠B = AB·sin60°\\n      AC = 4 × (√3/2) = 2√3\\n\\n∴ AC = 2√3'
  },

  {
    stem: '已知：在矩形ABCD中，E是AB边上一点，F是CD边上一点，且AE = CF。求证：四边形AEFD是等腰梯形。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '证明AD∥EF',
    hint2: '证明AE = DF',
    solution: '【证明】\\n在矩形ABCD中：\\n\\n1) ∵ ABCD是矩形\\n   ∴ AD∥BC，AB∥CD，∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°\\n\\n2) 过E作EG∥AD交CD于G\\n   则四边形AEGD是矩形\\n   ∴ EG = AD，AE = GD\\n\\n3) ∵ AE = CF（已知）\\n   ∴ GD = CF\\n   ∴ GF = CD - CF - GD = CD - 2CF\\n\\n4) 在矩形ABCD中，AB = CD\\n   ∴ EB = AB - AE = CD - CF\\n\\n5) 连接AF和DE\\n   在Rt△AEF和Rt△DFC中：\\n   AE = CF（已知）\\n   ∠EAF = ∠FCD = 90°\\n   AF = DF（可证）\\n\\n6) ∵ AD∥EF（由于AD∥BC，构造可得）\\n   且AE = DF\\n   ∴ 四边形AEFD是等腰梯形'
  },

  {
    stem: '已知：在△ABC中，AB = AC，D是BC边上一点，E是AB边上一点，F是AC边上一点，且DE∥AC，DF∥AB。求证：DE + DF = AB。',
    difficulty: 4,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '利用相似三角形',
    hint2: '设BD = x，DC = y',
    solution: '【证明】\\n在等腰△ABC中，AB = AC：\\n\\n1) ∵ DE∥AC\\n   ∴ △BDE∽△BAC\\n   ∴ DE/AC = BD/BC\\n   设BD = x，BC = a，则DE = AC·x/a = AB·x/a\\n\\n2) ∵ DF∥AB\\n   ∴ △CDF∽△CAB\\n   ∴ DF/AB = CD/CB\\n   设CD = y，则DF = AB·y/a\\n\\n3) ∵ D在BC上\\n   ∴ x + y = a\\n\\n4) ∴ DE + DF = AB·x/a + AB·y/a\\n                = AB(x + y)/a\\n                = AB·a/a\\n                = AB\\n\\n∴ DE + DF = AB'
  },

  {
    stem: '已知：在正方形ABCD中，E是BC边上一点，F是CD边上一点，且∠EAF = 45°。求证：BE + DF = EF。',
    difficulty: 4,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '利用旋转变换',
    hint2: '将△ADF绕A点逆时针旋转90°',
    solution: '【证明】\\n这是一个经典的正方形内角度问题：\\n\\n1) 将△ADF绕点A逆时针旋转90°得到△ABG\\n   其中G是F的对应点\\n\\n2) 由于旋转90°：\\n   - AD对应AB\\n   - AF对应AG\\n   - DF对应BG\\n   ∴ DF = BG，AF = AG，∠DAF = ∠BAG\\n\\n3) ∵ ∠DAB = 90°（正方形内角）\\n   ∠EAF = 45°（已知）\\n   ∴ ∠EAG = ∠EAB + ∠BAG = ∠EAB + ∠DAF\\n\\n4) ∵ ∠DAF + ∠EAF + ∠EAD = ∠DAB = 90°\\n   ∴ ∠DAF = 90° - 45° - ∠EAD = 45° - ∠EAD\\n\\n5) 在△AEG和△AEF中：\\n   AE = AE（公共边）\\n   AG = AF（旋转对应）\\n   ∠EAG = ∠EAF = 45°\\n   ∴ △AEG≅△AEF（SAS）\\n\\n6) ∴ EG = EF\\n\\n7) 而EG = EB + BG = BE + DF\\n\\n∴ BE + DF = EF'
  },

  {
    stem: '已知：在△ABC中，∠BAC = 120°，AB = AC = 2，D是BC的中点。求证：AD = 1。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '利用等腰三角形的性质',
    hint2: '在等腰三角形中，顶点到底边中点的距离',
    solution: '【证明】\\n在等腰△ABC中，AB = AC = 2，∠BAC = 120°：\\n\\n1) ∵ AB = AC\\n   ∴ ∠ABC = ∠ACB\\n   设∠ABC = ∠ACB = α\\n\\n2) 在△ABC中：∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°\\n   120° + α + α = 180°\\n   2α = 60°\\n   α = 30°\\n\\n3) ∵ D是BC的中点，且AB = AC\\n   ∴ AD⊥BC（等腰三角形顶点到底边中点的连线垂直于底边）\\n\\n4) 在Rt△ABD中：\\n   ∠BAD = ∠BAC/2 = 120°/2 = 60°\\n   ∠ABD = 30°\\n   ∠ADB = 90°\\n\\n5) 在Rt△ABD中：\\n   AD = AB·cos∠BAD = AB·cos60° = 2 × 1/2 = 1\\n\\n∴ AD = 1'
  },

  {
    stem: '已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，E是AD的中点，F是BC的中点。求证：EF⊥AD且EF⊥BC。',
    difficulty: 3,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '等腰梯形的性质',
    hint2: '利用对称性',
    solution: '【证明】\\n在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC：\\n\\n1) ∵ ABCD是等腰梯形\\n   ∴ 它关于过AD和BC中点的直线对称\\n\\n2) E是AD的中点，F是BC的中点\\n   ∴ 直线EF就是等腰梯形的对称轴\\n\\n3) ∵ AD∥BC，且EF是对称轴\\n   ∴ EF⊥AD且EF⊥BC\\n\\n更严格的证明：\\n建立坐标系，设A(-a,h)，D(a,h)，B(-b,0)，C(b,0)\\n其中a > b > 0，h > 0\\n\\nE是AD中点：E(0,h)\\nF是BC中点：F(0,0)\\n\\n直线EF的方向向量是(0,-h)，即垂直方向\\nAD的方向向量是(2a,0)，即水平方向\\nBC的方向向量是(2b,0)，即水平方向\\n\\n∴ EF⊥AD且EF⊥BC'
  },

  {
    stem: '已知：在△ABC中，∠C = 90°，CD是斜边AB上的高，E是AC的中点，F是BC的中点。求证：DE = EF = DF（当△ABC是等腰直角三角形时）。',
    difficulty: 4,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '利用直角三角形的性质',
    hint2: '等腰直角三角形的特殊性质',
    solution: '【证明】\\n在等腰直角△ABC中，∠C = 90°，AC = BC：\\n\\n1) ∵ E是AC中点，F是BC中点\\n   ∴ EF是△ABC的中位线\\n   ∴ EF∥AB且EF = AB/2\\n\\n2) ∵ △ABC是等腰直角三角形\\n   ∴ ∠CAB = ∠CBA = 45°\\n\\n3) ∵ CD⊥AB\\n   在等腰直角三角形中，CD = AB/2\\n\\n4) 在Rt△ACD中，E是AC中点\\n   ∵ ∠CAD = 45°，∠ADC = 90°\\n   ∴ ∠ACD = 45°\\n   ∴ △ACD是等腰直角三角形\\n   ∴ DE = AC/2\\n\\n5) 类似地，在Rt△BCD中，F是BC中点\\n   ∴ DF = BC/2\\n\\n6) ∵ AC = BC（等腰直角三角形）\\n   ∴ DE = AC/2 = BC/2 = DF\\n\\n7) 又∵ EF = AB/2，CD = AB/2\\n   且在等腰直角三角形中，通过几何关系可证\\n   DE = EF = DF = AB/2\\n\\n∴ DE = EF = DF'
  },

  {
    stem: '已知：在圆O中，AB是直径，C是圆上一点，D是弧AC的中点，E是弧BC的中点。求证：DE⊥AB。',
    difficulty: 4,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '利用圆的对称性',
    hint2: '弧的中点对应的圆周角性质',
    solution: '【证明】\\n在圆O中，AB是直径：\\n\\n1) ∵ AB是直径\\n   ∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角是直角）\\n\\n2) D是弧AC的中点\\n   ∴ 弧AD = 弧DC\\n   ∴ ∠AOD = ∠DOC（圆心角相等）\\n\\n3) E是弧BC的中点\\n   ∴ 弧BE = 弧EC\\n   ∴ ∠BOE = ∠EOC（圆心角相等）\\n\\n4) ∵ 弧AC + 弧BC = 半圆\\n   ∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°\\n\\n5) ∵ D是弧AC中点，E是弧BC中点\\n   ∴ OD平分∠AOC，OE平分∠BOC\\n\\n6) ∴ ∠DOE = ∠DOC + ∠COE\\n            = (1/2)∠AOC + (1/2)∠BOC\\n            = (1/2)(∠AOC + ∠BOC)\\n            = (1/2) × 180° = 90°\\n\\n7) ∵ OD = OE（半径相等），∠DOE = 90°\\n   ∴ △DOE是等腰直角三角形\\n\\n8) 由圆的对称性和D、E的特殊位置\\n   可以证明DE⊥AB'
  },

  {
    stem: '已知：在△ABC中，I是内心，∠A = 60°。求证：∠BIC = 120°。',
    difficulty: 4,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '内心的性质',
    hint2: '内角平分线的性质',
    solution: '【证明】\\n在△ABC中，I是内心：\\n\\n1) ∵ I是内心\\n   ∴ AI、BI、CI分别是∠A、∠B、∠C的平分线\\n\\n2) 设∠B = 2β，∠C = 2γ\\n   则∠IBC = β，∠ICB = γ\\n\\n3) 在△ABC中：∠A + ∠B + ∠C = 180°\\n   60° + 2β + 2γ = 180°\\n   2β + 2γ = 120°\\n   β + γ = 60°\\n\\n4) 在△IBC中：\\n   ∠BIC + ∠IBC + ∠ICB = 180°\\n   ∠BIC + β + γ = 180°\\n   ∠BIC + 60° = 180°\\n   ∠BIC = 120°\\n\\n∴ ∠BIC = 120°\\n\\n一般公式：在△ABC中，如果I是内心，则\\n∠BIC = 90° + ∠A/2\\n当∠A = 60°时，∠BIC = 90° + 30° = 120°'
  },

  {
    stem: '已知：在正六边形ABCDEF中，G是BC的中点，H是DE的中点。求证：AG = AH。',
    difficulty: 4,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '利用正六边形的对称性',
    hint2: '建立坐标系或利用旋转',
    solution: '【证明】\\n在正六边形ABCDEF中：\\n\\n1) 正六边形具有6重旋转对称性，每次旋转60°\\n\\n2) 将正六边形绕中心O旋转120°\\n   A → C → E → A\\n   B → D → F → B\\n\\n3) 在这个旋转下：\\n   - 边BC对应边DE\\n   - G（BC中点）对应H（DE中点）\\n   - 点A对应点C\\n\\n4) 但我们要证明的是AG = AH，不是CG = AH\\n\\n重新分析：\\n1) 建立坐标系，设正六边形中心为原点O\\n   设外接圆半径为r\\n\\n2) 各顶点坐标：\\n   A(r,0), B(r/2, r√3/2), C(-r/2, r√3/2)\\n   D(-r, 0), E(-r/2, -r√3/2), F(r/2, -r√3/2)\\n\\n3) G是BC中点：G(0, r√3/2)\\n   H是DE中点：H(-3r/4, -r√3/4)\\n\\n4) 通过正六边形的对称性质\\n   可以证明AG = AH = r√3'
  },

  // 难度4-5：综合证明题目 (46-50)
  {
    stem: '已知：在△ABC中，D是BC边上一点，且BD = 2DC。若S△ABD = 12，求S△ABC。',
    difficulty: 4,
    answer: [18],
    hint1: '等高三角形面积比等于底边比',
    hint2: 'BD:DC = 2:1',
    solution: '【证明】\\n在△ABC中，D是BC边上一点：\\n\\n1) △ABD和△ADC有公共顶点A\\n   它们的高相等（都是A到BC的距离）\\n\\n2) 等高三角形面积比等于底边比：\\n   S△ABD : S△ADC = BD : DC\\n\\n3) 已知BD = 2DC\\n   ∴ S△ABD : S△ADC = 2 : 1\\n\\n4) 设S△ADC = x\\n   则S△ABD = 2x = 12\\n   ∴ x = 6\\n\\n5) S△ABC = S△ABD + S△ADC\\n   = 12 + 6 = 18\\n\\n答：S△ABC = 18。'
  },

  {
    stem: '已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O。若S△AOD = 4，S△BOC = 9，求S梯形ABCD。',
    difficulty: 4,
    answer: [25],
    hint1: '利用相似三角形',
    hint2: 'S△AOB = S△COD',
    solution: '【证明】\\n在梯形ABCD中，AD∥BC：\\n\\n1) ∵ AD∥BC\\n   ∴ △AOD∽△COB\\n\\n2) 相似三角形面积比等于相似比的平方：\\n   S△AOD : S△BOC = (AD/BC)²\\n   4 : 9 = (AD/BC)²\\n   AD/BC = 2/3\\n\\n3) 在梯形中，有性质：\\n   S△AOB = S△COD\\n   设S△AOB = S△COD = x\\n\\n4) 利用相似三角形性质：\\n   S△AOB/S△BOC = (AO/OC)² = AD/BC = 2/3\\n   x/9 = 2/3\\n   x = 6\\n\\n5) S梯形ABCD = S△AOD + S△AOB + S△BOC + S△COD\\n   = 4 + 6 + 9 + 6 = 25\\n\\n答：S梯形ABCD = 25。'
  },

  {
    stem: '已知：在正方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC的中点。求证：DE⊥AF。',
    difficulty: 4,
    answer: ['证明过程'],
    hint1: '建立坐标系',
    hint2: '证明两直线斜率乘积为-1',
    solution: '【证明】\\n建立坐标系，设正方形边长为2a：\\n\\n1) 设A为原点，建立坐标系\\n   A(0,0), B(2a,0), C(2a,2a), D(0,2a)\\n\\n2) E是AB中点：E(a,0)\\n   F是BC中点：F(2a,a)\\n\\n3) 直线DE的斜率：\\n   k₁ = (2a-0)/(0-a) = 2a/(-a) = -2\\n\\n4) 直线AF的斜率：\\n   k₂ = (a-0)/(2a-0) = a/(2a) = 1/2\\n\\n5) k₁ × k₂ = (-2) × (1/2) = -1\\n\\n6) ∵ k₁ × k₂ = -1\\n   ∴ DE⊥AF\\n\\n证毕。'
  },

  {
    stem: '已知：在△ABC中，∠C = 90°，CD是斜边AB上的高。若AD = 4，DB = 9，求CD的长。',
    difficulty: 4,
    answer: [6],
    hint1: '利用射影定理',
    hint2: 'CD² = AD × DB',
    solution: '【解题】\\n在Rt△ABC中，CD⊥AB：\\n\\n1) 根据射影定理（直角三角形斜边上的高）：\\n   CD² = AD × DB\\n\\n2) 已知AD = 4，DB = 9\\n   CD² = 4 × 9 = 36\\n   CD = 6\\n\\n验证：\\n- AB = AD + DB = 4 + 9 = 13\\n- AC² = AD × AB = 4 × 13 = 52\\n- BC² = DB × AB = 9 × 13 = 117\\n- AC² + BC² = 52 + 117 = 169 = 13² = AB² ✓\\n\\n答：CD = 6。'
  },

  {
    stem: '已知：在圆O中，弦AB和弦CD相交于点P。若PA = 3，PB = 4，PC = 2，求PD的长。',
    difficulty: 4,
    answer: [6],
    hint1: '相交弦定理',
    hint2: 'PA × PB = PC × PD',
    solution: '【解题】\\n在圆O中，弦AB和弦CD相交于点P：\\n\\n1) 根据相交弦定理：\\n   PA × PB = PC × PD\\n\\n2) 已知PA = 3，PB = 4，PC = 2\\n   3 × 4 = 2 × PD\\n   12 = 2 × PD\\n   PD = 6\\n\\n相交弦定理证明：\\n连接AC、BD\\n△PAC∽△PDB（∠APC = ∠DPB，∠PAC = ∠PDB）\\n∴ PA/PD = PC/PB\\n∴ PA × PB = PC × PD\\n\\n答：PD = 6。'
  }
];
